شرح مفصل لدرس مبرهنة فيثاغورس بشكل رائع

مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، وفيلسوفا، وعالم فلك في اليونان القديمة.

نستعمل مبرهنة فيثاغورس المباشرة لحساب طول ضلع في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول الضلعين الأخرين.

مبرهنة فيتاغورس المباشرة : خاصية مباشرة

1 - من هو فيتاغورس ؟ ...  نبذة قصيرة :

Pythagore

فيثاغورس ( 580 - 500 ق.م ) هو عالم رياضيات يوناني، إهتم اهتماما كبيرا بالرياضيات وخصوصا بالأرقام وقدس الرقم عشرة لأنه يمثل الكمال (اي الشئ الكامل التام) كما اهتم بالموسيقى وقال أن الكون يتألف من التمازج بين العدد والنغم. أجبر فيثاغورس أتباعه من دارسي الهندسة على عدة أمور قال أنه نقلها في رحلاته من المزاولين للهندسة : ارتداء الملابس البيضاء، التأمل في أوقات محددة، الامتناع عن أكل اللحوم، الامتناع عن أكل الفول.

استطاع فيثاغورس إثبات نظريته مبرهنة فيتاغورس في الرياضيات والتي تقول : في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة، عن طريق حسابه لمساحة المربعات التي تقابل كل ضلع من أضلاع المثلث قائم الزاوية.
استفاد الكثير من المهندسين في العصر الحاضر من هذه النظرية في عملية بناء الأراضي.

في البرمجية التالية يمكنك معاينة برهان ديناميكي لمبرهنة فيتاغورس بإستعمال مساحات المربعات الناشئة إنطلاقا من أضلاع المثلث القائم الزاوية (إضغط زر تشغيل) :

1 - خاصية  مباشرة:

المقصود من مبرهنة  فيتاغورس المباشرة هو النص الأصلي للمبرهنة الأساسية لأن هناك النص العكسي للمبرهنة أيضاً ويعرف بمبرهنة فيتاغورس العكسية.
يمكن وضع هذه المبرهنة في قالب رياضياتي كما يلي :

        خاصية مباشرة :

إذا كان ABC  مثلث قائم الزاوية في  A

 

فإن :           BC² = AB² + AC²

2 - تطبيق :

ABC مثلث قائم الزاوية في A  حيث : AB = 6  و AC = 8
أحسب BC

الشكل

المثلث ABC مثلث قائم الزاوية في A  إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا :

BC² = AB² + AC²               

BC² = 6² + 8²               

BC² = 36 + 64               

BC² = 100               

               BC = √(100)

BC = 10               

ملاحظـــــة : نستعمل الألة الحاسبة لتحديد قيمة الجذر التربيعي للعدد 100 ( 10 =(100)√ )
طول الوتر BC هو 10cm.

تمارين محلولة :

           مسألـــــة :   

إشترى عمر خزانة خشبية على شكل متوازي المستطيلات ثم و ضعها بشكل أفقي على الأرضية. إستعان ببعض من زملائه لرفع الخزانة حتى تأخد وضعا عموديا (أنظر الشكل).
هل يستطيع عمر فعل ذلك؟ عـــــلل حوابك

الحـــــل :
كي يتأكد عمر من أن الخزانة ستتخد و ضعا عموديا و لن يعيقه السقف، عليه أن يحسب الطول AC ( أنظر الشكل ). فإن كان ناتج حساب AC أصغر من 2.1 متر ( إرتفاع السقف ) سيستطيع، و في حالة العكس لن يستطيع عمر.

في المثلث ABC القائم الزاوية في B لدينا حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة :

AC² = BC² + AB²               

AC² = 0.7² + 2²               

AC² = 0.49 + 4               

AC² = 4.49               

               AC = √(4.49)

11.AC = 2                

ملاحظـــــة : نستعمل الألة الحاسبة لتحديد قيمة مقربة للجذر التربيعي للعدد 4.49 ( 2.11896201004 =(4.49)√ )
لن يستطيع عمر فعل ذلك لأن : 2.11  >  2.1

           تمرين رقم 2 :
نعتبر دائرة مركزها O و شعاعها 0.5 = r و[BC] قطر فيها .
لتكن A نقطة من هذه الدائرة حيث AC = 4/5

1. لماذا ABC مثلث قائم الزاوية في A ؟
2. أحسب محيط المثلث ABC

الحــــل :

الشكل

1. نبين أن ABC مثلث قائم الزاوية في A :
لدينا     : O هو منتصف [BC] إذن : OB = OC = r
ولدينا   : A نقطة من الدائرة إذن OA = r
منه فإن : OA = OB = OC
أي أن   : ABC مثلث قائم الزاوية في A
             يمكنك معاينة الخاصية المستعملة في هذه الصفحة

2. نحسب محيط المثلث ABC
كي نحسب محيط المثلث ABC  يلزمنا أولا حساب طول الضلع AB

في المثلث ABC القائم الزاوية في A لدينا حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة :

محيط المثلث ABC :

          تمرين رقم 3 :

علما أن : AI = JC = c
بين أن : IJ² = b² + ( a - 2c )²

الحـــــــل :

في المثلث IEJ القائم الزاوية في E لدينا حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة :

رابط للتحميل Downlaod

تمارين محلولة